Δευτέρα, 13 Σεπτεμβρίου 2010

Συστηματική τηλεσκοπική παρατήρηση του Τιτάνα με σκοπό τον προσδιορισμό της περιόδου και της ακτίνας περιφοράς του: υπολογισμός της μάζας του Κρόνου

Η εργασία αυτή πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο της συμμετοχής του 2ου Γενικού Λυκείου Εχεδώρου στο 2ο Πανελλήνιο Διαγωνισμό Αστρονομίας που διοργάνωσε η Ένωση Ελλήνων Φυσικών (Σεπτέμβριος 2010). Συμμετείχαν οι μαθητές Μ. Σοφία, Ν. Κίμων, Σ. Χαράλαμπος, Χ.  Δέσποινα. H εργασία απέσπασε τιμητικό ειδικό βραβείο.
Εφόσον έχετε πρόσβαση σε τηλεσκόπιο, μπορείτε να επαναλάβετε τις παρατηρήσεις μέ βάση όσα περιγράφονται παρακάτω. Διαφορετικά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις φωτογραφίες που έχουμε πάρει για να εμπλέξετε τους μαθητές σε μία δημιουργική δραστηριότητα υπολογισμού της μάζας του Κρόνου, η οποία μπορεί να γίνει είτε στο πλαίσιο της Φυσικής της Α΄Λυκείου (κυκλική κίνηση - βαρύτητα) είτε στο πλαίσιο της Αστρονομίας της Β' Λυκείου.

Εισαγωγή
Ο Τιτάνας είναι ο μεγαλύτερος δορυφόρος του Κρόνου και ταυτόχρονα ο δεύτερος μεγαλύτερος δορυφόρος του Ηλιακού μας Συστήματος, μετά το Γανυμήδη του Δία [1]. Η σύσταση της ατμόσφαιράς του και η πιθανολογούμενη ύπαρξη ωκεανών στην επιφάνειά του έχουν συγκεντρώσει τα τελευταία χρόνια την προσοχή των αστρονόμων, με αποκορύφωμα την προσεδάφιση στην επιφάνειά του της διαστημοσυσκευής Huygens στις 14 Ιανουαρίου 2005 [2].
Στο πλαίσιο της εργασίας μας παρατηρήσαμε και φωτογραφήσαμε συστηματικά με τηλεσκόπιο το σύστημα Κρόνος – Τιτάνας από τις 24 Μαΐου 2010 έως τις 23 Ιουλίου 2010, με σκοπό να υπολογίσουμε την ακτίνα και την περίοδο περιφοράς του Τιτάνα γύρω από τον Κρόνο, να συγκρίνουμε τις τιμές με αυτές που είναι γνωστές βιβλιογραφικά, και τέλος να υπολογίσουμε τη μάζα του Κρόνου με τη βοήθεια του τρίτου νόμου του Κέπλερ.

Ο εξοπλισμός μας - Ρυθμίσεις
Για τις παρατηρήσεις μας χρησιμοποιήσαμε ένα ρομποτικό τηλεσκόπιο Celestron NexStar 102 SLT (Εικόνα 1α). Πρόκειται για ένα διοπτρικό τηλεσκόπιο με διάμετρο αντικειμενικού φακού 102 mm και εστιακή απόσταση 660 mm. Στη θέση του προσοφθάλμιου φακού τοποθετήθηκε μέσω κατάλληλου προσαρμογέα μια τροποποιημένη web κάμερα Philips ToUcam PRO II (PCVC 840K) (Εικόνα 1β). 

 Εικόνα 1. α. Το τηλεσκόπιο Celestron NexStar SLT 102. β. Η τροποποιημένη web camera Philips ToUcam PRO II και ο αντίστοιχος προσαρμογέας

Η κάμερα είναι εξοπλισμένη με έναν αισθητήρα CCD διαγώνιας διάστασης ¼ της ίντσας και ανάλυσης 640x480 εικονοστοιχείων (μέγεθος κάθε εικονοστοιχείου 5,6x5,6 μm) [3]. Η τροποποιημένη κάμερα διαθέτει ένα ενσωματωμένο κύκλωμα το οποίο, μέσω σύνδεσης σε παράλληλη θύρα ηλεκτρονικού υπολογιστή, επιτρέπει τη λήψη εικόνων με απεριόριστο χρόνο έκθεσης. Ωστόσο, επειδή ο χρόνος λήψης που χρειαστήκαμε δεν υπερέβη τα 30s δεν κάναμε χρήση αυτής της δυνατότητας. Έτσι η κάμερα συνδέθηκε σε φορητό ηλεκτρονικό υπολογιστή μέσω θύρας USB και για τον έλεγχό της χρησιμοποιήθηκε η ελληνική έκδοση του ελεύθερου λογισμικού SalsaJ [4]. Οι επιλογές που έγιναν, ύστερα από διάφορες δοκιμές, ήταν οι εξής [5]:
  • Video format: 640x480 (Εικόνα 2α). Η επιλογή έγινε ώστε να έχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή ανάλυση και μεγάλο κάδρο για να αποτυπώνεται ο Τιτάνας ακόμη και όταν βρίσκεται στη μεγαλύτερη απόσταση από τον Κρόνο.
  • Framerate [f/s]: 5 (Εικόνα 2β). Με την επιλογή αυτή η κάμερα έπαιρνε πέντε φωτογραφήσεις κάθε δευτερόλεπτο, με αποτέλεσμα να μπορέσουμε να αποτυπώσουμε τον αμυδρό Τιτάνα.
  • Exposure: Shutter speed: 1/15. Η επιλογή αυτή ήταν η μικρότερη δυνατή (μικρότερη ταχύτητα κλείστρου) και επέτρεψε να έχουμε υπερφωτισμό των φωτογραφιών ικανό να αποκαλύψει τον Τιτάνα.
  • Gain: μεταβαλλόμενη τιμή, ανάλογα με τις συνθήκες (μεγάλη τιμή όταν οι καιρικές συνθήκες δεν ήταν καλές, μικρή τιμή όταν η ατμοσφαιρικές συνθήκες ήταν ευνοϊκές. Η επιλογή αυτή ενίσχυσε το καταγραφέν σήμα αν και πρόσθεσε θόρυβο στις φωτογραφίες.
Εικόνα 2. Η διεπαφή ελέγχου της web κάμερας

Οι παρατηρήσεις
Οι παρατηρήσεις μας πραγματοποιήθηκαν από τις 24 Μαΐου 2010 έως και τις 23 Ιουλίου 2010 μέσα από την πόλη της Θεσσαλονίκης (40°39'16"N 22°55'26"E). Ο Κρόνος ήταν ορατός αμέσως μετά τη δύση του Ήλιου στο νοτιοδυτικό ουρανό γύρω στις 21:30. Στις 24 Μαΐου, έδυσε στις 3:00, ενώ στις 23 Ιουλίου έδυσε στις 23:12, τοπική ώρα. Κατά συνέπεια, ενώ τον πρώτο μήνα παρατηρήσεων ο Κρόνος ήταν ψηλά πάνω από τον ορίζοντα καθιστώντας ευνοϊκή την παρατήρηση, από τον Ιούλιο άρχισε να βρίσκεται πλέον αρκετά χαμηλά μειώνοντας την ποιότητα των φωτογραφιών και καθιστώντας δύσκολο τον εντοπισμό του Τιτάνα. Για το λόγο αυτό οι παρατηρήσεις δεν συνεχίστηκαν μετά τις 23 Ιουλίου. Επειδή θέλαμε να υπολογίσουμε την περίοδο περιφοράς του Τιτάνα επιδιώξαμε οι παρατηρήσεις να γίνονται κάθε βράδυ την ίδια περίπου ώρα εκτός αν δεν ευνοούσαν οι καιρικές συνθήκες. Έτσι οι περισσότερες παρατηρήσεις έγιναν γύρω στις 10 το βράδυ τοπική ώρα από μερικά μέλη ή και ακόμη από ολόκληρη την ομάδα μας.
Δυστυχώς, αν και σκοπός μας ήταν να έχουμε παρατηρήσεις κάθε βράδυ, αυτό δεν κατέστη δυνατό κυρίως λόγω του καιρού, αν εξαιρέσουμε το διάστημα 8-12 Ιουλίου όπου όλα τα μέλη της ομάδας έλειπαν. Είναι ιδιαίτερα χαρακτηριστικό ότι στο διάστημα από 24 Ιουνίου έως και 4 Ιουλίου κάθε βράδυ ο ουρανός ήταν συννεφιασμένος ή και έβρεχε ακόμη [6]. Έτσι, έγιναν στο διάστημα των 59 ημερών συνολικά 20 μόνο παρατηρήσεις.

Επεξεργασία δεδομένων
Κατά τη διάρκεια των παρατηρήσεων καταγράφηκαν πολλά διαδοχικά βίντεο του Κρόνου διάρκειας 5 – 30 s με διάφορες επιλογές του Gain (βλ. παραπάνω). Τα βίντεο αυτά είναι τύπου .avi. Στη συνέχεια τα βίντεο εισήχθησαν στο ελεύθερης διανομή λογισμικό Registax 5.1 [7] προκειμένου να επεξεργαστούν και να προκύψουν οι τελικές φωτογραφίες. Η διαδικασία που ακολουθήθηκε ήταν η εξής [8]:

1. Ευθυγράμμιση (alignment) του βίντεο ως προς τον Κρόνο (Εικόνα 3α)
2. Βελτιστοποίηση και συσσώρευση των εικόνων (optimize & stack)
3. Διόρθωση φωτεινότητας και αντίθεσης (Wavelet settings) (Εικόνα 3β)
4. Οριστικοποίηση – Ολοκλήρωση

Εικόνα 3. α. Ευθυγράμμιση του βίντεο. β. Διορθώσεις φωτεινότητας και αντίθεσης

Μια χαρακτηριστική φωτογραφία που προκύπτει από μία τυπική παρατήρηση/βιντεοσκόπηση φαίνεται στην Εικόνα 4α. Σε αυτή διακρίνεται ο Κρόνος όχι όμως και ο Τιτάνας. Μετά την επεξεργασία της φωτογραφίας ο Τιτάνας εμφανίζεται αριστερά του Κρόνου στο ίδιο επίπεδο με αυτό των δακτυλιδιών του. Προκειμένου να επιβεβαιώσουμε την ταυτοποίηση του Τιτάνα ανατρέξαμε σε πηγές στο διαδίκτυο που παραθέτουν για κάθε μέρα τις θέσεις των μεγαλύτερων δορυφόρων του Κρόνου [9],[10].

Εικόνα 4. α. Ο Κρόνος εμφανίζεται χωρίς τον Τιτάνα στην αρχική φωτογραφία (αριστερά). β. Ο Τιτάνας εμφανίστηκε μετά την επεξεργασία της αρχικής φωτογραφίας (δεξιά)

Ας σημειωθεί ότι ανάλογα με τις καιρικές συνθήκες, αλλά και όσο πλησιάζαμε προς το τέλος των παρατηρήσεων, η διάκριση του Τιτάνα, παρά την επεξεργασία, ήταν αρκετά δύσκολη αυξάνοντας την αβεβαιότητα των μετρήσεων που περιγράφονται στην επόμενη παράγραφο.

Αποτελέσματα
Μετά την επεξεργασία όλων των βίντεο, προέκυψαν 54 φωτογραφίες όπως αυτή της Εικόνας 4β με τον Τιτάνα να αλλάζει θέση καθώς περιστρεφόταν γύρω από τον Κρόνο. Οι φωτογραφίες αυτές εισήχθησαν στο λογισμικό SalsaJ με σκοπό να μετρηθεί η φαινόμενη απόσταση σε εικονοστοιχεία του Τιτάνα από το κέντρο του Κρόνου (Εικόνα 5).

Εικόνα 5. Μέτρηση της φαινόμενης απόστασης Τιτάνα – Κρόνου με το λογισμικό SalsaJ

Για αρκετές βραδιές παρατήρησης προέκυψαν περισσότερες από μία φωτογραφίες. Σε αυτή την περίπτωση υπολογίσαμε τη μέση φαινόμενη απόσταση Τιτάνα – Κρόνου. Το ζητούμενο ήταν να μετατρέψουμε την απόσταση αυτή σε πραγματική απόσταση εκφρασμένη σε χιλιόμετρα. Για το λόγο αυτό έπρεπε η μετρούμενη απόσταση να μετατραπεί καταρχάς σε γωνία υπό την οποία φαίνεται το σύστημα Τιτάνας – Κρόνος. Η κάμερα που χρησιμοποιήσαμε είχε ανάλυση 640x480 εικονοστοιχεία και διαστάσεις ddet=3,87x2,82 mm. Με δεδομένο ότι η εστιακή απόσταση του τηλεσκοπίου που χρησιμοποιήσαμε για τις φωτογραφήσεις είναι fob=660 mm, προκύπτει από τη σχέση [3]

ϑ = 2 arctg (ddet / 2 fob) (rad)

ότι κάθε φωτογραφία έχει γωνιακό εύρος 0,3359⁰x0,2448⁰ ή αντίστοιχα 0.005862561 rad x 0.004272566 rad. Άρα απόσταση ενός εικονοστοιχείου αντιστοιχεί περίπου σε γωνία 9.162x10^-7 rad. Κατά συνέπεια, πολλαπλασιάζοντας τις αποστάσεις σε εικονοστοιχεία με αυτό τον αριθμό, τις μετατρέπουμε σε γωνίες υπό τις οποίες φαίνεται το σύστημα Τιτάνας – Κρόνος κάθε βράδυ παρατήρησης.
Για να υπολογίσουμε την απόσταση D του Τιτάνα από τον Κρόνο, αρκεί πλέον να γνωρίζουμε την απόσταση d Γης – Κρόνου για κάθε βράδυ παρατήρησης. Για να πληροφορηθούμε αυτή την απόσταση χρησιμοποιήσαμε το ελεύθερης διανομής λογισμικό Stellarium 0.10.5 [11], το οποίο παρέχει τη συγκεκριμένη πληροφορία κάνοντας κλικ πάνω στον Κρόνο (Εικόνα 6).

Εικόνα 6. Το λογισμικό Stellarium. Πάνω αριστερά φαίνεται το μενού με πληροφορίες σχετικά με τον Κρόνο

Η απόσταση Τιτάνα – Κρόνου προκύπτει τότε (Εικόνα 7) από τη σχέση

D=d·εφθ



Εικόνα 7. Η γεωμετρία που επιτρέπει τον υπολογισμό της απόστασης Τιτάνα – Κρόνου

Τα δεδομένα των παρατηρήσεων και τα αποτελέσματα των μετρήσεων δίνονται στον Πίνακα 1. Οι ημέρες παρατήρησης αναφέρονται κατά αύξοντα αριθμό. Η 1η μέρα είναι η 24η Μαΐου 2010 και η 59η είναι η 23η Ιουλίου 2010. Οι αρνητικές τιμές στη μέση απόσταση (2η στήλη) και στην φαινόμενη απόσταση Τιτάνα – Κρόνου (5η στήλη) δηλώνουν ότι ο Τιτάνας βρίσκεται αριστερά από τον Κρόνο. Η απόσταση Γης – Κρόνου δίνεται σε αστρονομικές μονάδες (AU), όπου 1 AU = 1,5x10^8 km.


Πίνακας 1.

Αναπαριστώντας γραφικά τη φαινόμενη απόσταση Τιτάνα – Κρόνου με την ημέρα παρατήρησης, προκύπτει το Διάγραμμα 1. Θεωρώντας ότι η τροχιά του Τιτάνα γύρω από τον Κρόνο είναι σχεδόν κυκλική, η πραγματική απόσταση Τιτάνα – Κρόνου είναι σταθερή. Από τη Γη ωστόσο η απόσταση αυτή φαίνεται να μεταβάλλεται επειδή παρατηρούμε υπό γωνία το σύστημα Τιτάνα - Κρόνου.

 
 Διάγραμμα 1.

 Επομένως, από τον παραπάνω Πίνακα 1 και το Διάγραμμα 1 μπορούν να προκύψουν δύο πληροφορίες: η μέγιστη απόσταση η οποία θα ισούται με την πραγματική ακτίνα περιφοράς, και η περίοδος περιφοράς. Η μέγιστη απόσταση (κατά απόλυτο τιμή) μετρήθηκε στην 22η μέρα παρατήρησης, δηλαδή στις 14 Ιουνίου 2010, και βρέθηκε να είναι R = 1.261.637,698 km. Σύμφωνα με πηγές στο διαδίκτυο [12], η μέση απόσταση Τιτάνα – Κρόνου είναι 1.221.850 km. Άρα, η αβεβαιότητα στη μέτρησή μας είναι 3.26%.
Τα δύο τμήματα των παρατηρήσεων εμφανίζουν σαφή περιοδικότητα, παρά την έλλειψη παρατηρήσεων από την 30η έως και την 40η ημέρα και παρά τις δυσκολίες παρατήρησης από τις αρχές Ιούλιου και μετά που αύξησαν τις αβεβαιότητες μέτρησης. Βλέπουμε έτσι ότι η φαινόμενη απόσταση Τιτάνα – Κρόνου παίρνει πολύ κοντινές τιμές την 3η και την 19η ημέρα (Τ=16d), την 4η και την 20η (T=16d), την 9η και την 25η (T=16d), την 20η και την 50η (T=15d), την 22η και την 52η (T=15d), υποδηλώνοντας ότι η περίοδος περιφοράς του Τιτάνα είναι μεταξύ 15 και 16 ημέρες. Αντίστοιχα, φαίνεται ότι την 1η και την 56η ημέρα ο Τιτάνας βρίσκεται σε παρόμοια απόσταση από τον Κρόνο έχοντας κάνει 3.5 περιστροφές, οπότε Τ = 15.74d. Σύμφωνα με πηγές στο διαδίκτυο [12] η περίοδος περιφοράς του Τιτάνα γύρω από τον Κρόνο είναι 15,95d.
Από τις πληροφορίες αυτές (ακτίνα και περίοδο περιφοράς) μπορούμε να υπολογίσουμε τη μάζα του Κρόνου Μκ. Πράγματι, ισχύει ότι:
 

Αν η κίνηση του Τιτάνα θεωρηθεί ομαλή κυκλική, είναι
 
οπότε προκύπτει ότι
 
Αντικαθιστώντας την τιμή του R που υπολογίσαμε και για Τ=15.5d, προκύπτει ότι Mκ=6,63·10^26 kg, ενώ για Τ=15.74d προκύπτει Mκ=6,42·10^26 kg. Με δεδομένο ότι η μάζα του Κρόνου είναι [13] ίση με 5.688·10^26 kg η αβεβαιότητα των μετρήσεών μας είναι 14,2% και 11.4% αντίστοιχα.

Συμπεράσματα
Στο πλαίσιο αυτής της εργασίας παρατηρήσαμε με τηλεσκόπιο και καταγράψαμε τη θέση του Τιτάνα 20 βραδιές σε διάστημα 2 σχεδόν μηνών. Η επεξεργασία των παρατηρήσεων μας επέτρεψε να υπολογίσουμε με ικανοποιητική ακρίβεια την ακτίνα και την περίοδο περιφοράς του Τιτάνα καθώς και τη μάζα του Κρόνου. Τα αποτελέσματά μας θα μπορούσαν να είναι καλύτερα αν είχαμε περισσότερες διαδοχικές μετρήσεις, κάτι που δεν μας επέτρεψε ο καιρός, καθώς κι αν διαθέταμε κάμερας υψηλότερης ανάλυσης. Σφάλματα επίσης προέκυψαν κατά τον υπολογισμό της απόστασης Τιτάνα – Κρόνου με το λογισμικό SalsaJ. Τα περισσότερα σφάλματα σχετίζονται ωστόσο με τον υπολογισμό της περιόδου περιφοράς από το Διάγραμμα 1, εξαιτίας των λίγων σημείων/παρατηρήσεων, και συνεπώς με τον υπολογισμό της μάζας του Κρόνου. Για τον ακριβέστερο υπολογισμό της περιόδου θα μπορούσαμε να υποθέσουμε την ύπαρξη κάποιων σημείων που λείπουν στο διάγραμμα, αξιοποιώντας τον υπολογισμό της ακτίνας περιφοράς. Για παράδειγμα, η «κορυφή» την 4η ημέρα είναι μάλλον πλασματική (απόσταση περίπου 1.000.000 km): η αληθινή θα πρέπει να είναι κοντά στην 6η ημέρα. Αποφασίσαμε, ωστόσο, να παραθέσουμε εδώ μόνο τα δεδομένα που συλλέξαμε. Τα δεδομένα αυτά θα μπορούσαν επίσης να επεξεργαστούν λαμβάνοντας υπόψη την περίπλοκη γεωμετρία θέασης του συστήματος Τιτάνα – Κρόνου λόγω της κλίσης του Κρόνου ως προς τους παρατηρητές στη Γη, κάτι που, ωστόσο, δε θεωρήθηκε ότι επηρεάζει σημαντικά την ακρίβεια μέτρησης των μεγεθών που μας ενδιέφεραν.
Θα ήταν ενδιαφέρον να μπορέσουμε να επαναλάβουμε στο μέλλον τις παρατηρήσεις μας χρησιμοποιώντας είτε κάποιο μεγαλύτερο τηλεσκόπιο είτε ακόμη και κάποιο ρομποτικό τηλεσκόπιο μέσω διαδικτύου. Θα θέλαμε, σε μία τέτοια περίπτωση, να καταγράψουμε τη μεταβολή της θέσης του Τιτάνα κατά τη διάρκεια της ίδιας νύκτας (π.χ. σε χρονικό διάστημα 6 ωρών) για να υπολογίσουμε με περισσότερη ακρίβεια την περίοδο περιφοράς [14]. Ταυτόχρονα θα μπορούσαμε να καταγράψουμε τη θέση και άλλων αμυδρότερων δορυφόρων του Κρόνου με σκοπό τον ακριβέστερο προσδιορισμό της μάζας του πλανήτη.
Βιβλιογραφία
1. http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A4%CE%B9%CF%84%CE%AC%CE%BD%CE%B1%CF%82_%28%CE%B4%CE%BF%CF%81%CF%85%CF%86%CF%8C%CF%81%CE%BF%CF%82%29
2. http://en.wikipedia.org/wiki/Huygens_probe
3. CCD Observatory in school. Guide for students, teacher and parents. Version 4.1. Διαθέσιμο στο http://www.euhou.net/docupload/files/Tools/Webcam/beginners/ccd_en_v415.pdf
4. http://www.gr.euhou.net/index.php?option=com_content&task=view&id=8&Itemid=10
5. The SalsaJ Software manual. Διαθέσιμο στο http://www.euhou.net/docupload/files/software/manuel/SalsaJ.pdf
6. Για αρχείο του καιρού της Θεσσαλονίκης δείτε εδώ: http://www.meteoprog.gr/el/fwarchive/Thessaloniki/
7. http://www.astronomie.be/registax/
8. Registax 4 User Manual V1.0. Διαθέσιμο στο http://www.astronomie.be/Registax/RegiStax4UserManual_Revision1.pdf
9. http://media.skyandtelescope.com/documents/Wigglegram201007Sat.pdf
10. http://www.skyandtelescope.com/observing/objects/javascript/saturn_moons
11. http://www.stellarium.org/el/
12. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/saturniansatfact.html
13. http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/saturnfact.html
14. Tracking Jupiter’s moons. Διαθέσιμο στο http://kepler.nasa.gov/files/mws/JupitersMoonsHOU.pdf

Φωτογραφικό υλικό προς επεξεργασία
Προσοχή μη μπερδευτείτε με τα άστρα υποβάθρου! Ο Τιτάνας βρίσκεται πάντα στο ίδιο επίπεδο με αυτό των δακτυλίων του Κρόνου. Στον τίτλο της φωτογραφίας εμφανίζεται η ημερομηνία και η τοπική ώρα λήψης, ώστε να μπορέσετε να βρείτε την απόσταση Κρόνου - Γης.

24 Μαΐου 2010 (24_5_2010__22_24_28)

25 Μαΐου 2010 (25_5_2010__22_09_36)

 26 Μαΐου 2010 (26_5_2010_21_36_54)

27 Μαΐου 2010 (27_5_2010__21_29_34)

1 Ιουνίου 2010 (1_6_2010__21_49_32)

7 Ιουνίου 2010 (7_6_2010__22_07_22)

11 Ιουνίου (11_6_2010__22_06_11)

12 Ιουνίου 2010 (12_6_2010__22_21_11)

14 Ιουνίου 2010 (14_6_2010__21_52_23)

17 Ιουνίου 2010 (17_6_2010__21_48_24)

20 Ιουνίου 2010 (20_6_2010__21_56_34)

23 Ιουνίου 2010 (23_6_2010__00_01_45)

 5 Ιουλίου 2010 (5_7_2010_22_01_02)

6 Ιουλίου 2010 (6_7_2010__22_19_58)

13 Ιουλίου 2010 (13_7_2010__22_10_12)

14 Ιουλίου 2010 (14_7_2010__21_43_10)
16 Ιουλίου 2010 (16_7_2010__22_29_14)
20 Ιουλίου 2010 (20_7_2010__22_09_50)



1 σχόλιο: